22/4/13

Homología y afinidad.

La Geometría proyectiva, también llamada Geometría de posición o Geometría natural, desarrollada por Poncelet (XVIII - IX), se encarga de estudiar las posiciones de los elementos en el plano y en el espacio.
Poncelet introduce el concepto de infinito en el campo matemático.


Operaciones y definiciones proyectivas fundamentales.

Se trabaja con los elementos geométricos fundamentales (puntos, rectas y planos) transformándolos en el plano. Es importante el concepto de proyección y sección.

Formas fundamentales.

Radiación de rectas. Conjunto de rectas o rayos que pasan por un punto llamado centro de radiación.
Radiación de planos. Conjunto de todos los planos del espacio que pasan por un mismo punto.

Operaciones fundamentales.

Proyectar. Proyectar los puntos A, B y C desde otro punto O, centro de proyección, consiste en unir los puntos mediante una recta o rayo considerando la figura formada por OA, OB y OC.

Resultado: OA, OB, OC

Seccionar.

Es el resultado de la intersección de rectas o planos con el plano de corte.
Resultado: A, B y C

Homología.

Dos figuras planas situadas en planos perspectivos distintos se dice que son homólogas si las rectas que unen pares de puntos pasan por un punto fijo, O, llamado centro de homología.
Dicho punto puede ser propio, siendo la radiación cónica, o impropio, siendo la radiación cilíndrica.


Cuando el centro se encuentra en el infinito recibe el nombre de homología afín o afinidad. 

Elementos:

 O, centro de homología. E, eje. RL, rectas límite. AA', pares de puntos homólogos.

Determinación de una homología.

Para construir una figura homóloga de otra dada es necesario tener al menos 3 de los seis elementos.
Veremos esto y muchos más ejercicios de transformaciones en la página de J. Cuadrado.
Como siempre, genial.


Más información sobre el tema en Las Láminas y ejercicios resueltos en Trazoide.