El triángulo.
Definición.
Un triángulo es un polígono de tres lados y tres vértices.
También puede definirse como una figura plana delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices y los segmentos son los lados.
Propiedades destacadas.
· La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180⁰
· La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360⁰
· Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto u obtuso
· El ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes
· Cualquier lado de un triángulo siempre es menor a la suma de los otros dos lados, pero mayor que su diferencia.
Nomenclatura.
Los vértices se designan con letras mayúsculas en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Los lados se nombran con la misma letra que el vértice opuesto y en minúscula.
A tener muy en cuenta , ya que la nomenclatura puede ser un dato del problema que se nos plantee.
Tipos y clasificación.
→ Según sus lados.
Equiláteros: todos sus lados son iguales. A = B = C
Isósceles: dos lados iguales y el otro desigual. : A = B ≠ C
Escalenos: todos sus lados son desiguales. A ≠ B ≠ C
→ Según sus ángulos.
Rectángulos: tienen un ángulo recto α = 90⁰.
El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos son los catetos.
La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de sus catetos.
En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90⁰
Acutángulos: < 90⁰ tres ángulos agudos (menores de 90⁰).
Obtusángulos: > 90⁰ un ángulo obtuso (mayores de 90⁰).
Elementos notables. Rectas y puntos.
Mediatrices. Dividen los lados en 2 partes iguales
. Circuncentro. Punto de ꓵ de las mediatrices. Centro de la circunferencia circunscrita.
Bisectrices. Dividen los ángulos en 2 partes iguales.
Incentro. Punto de ꓵ de las bisectrices.
Centro de la circunferencia inscrita, esta circunferencia es tangente a sus tres lados.
Medianas. Unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro. Punto de ꓵ de las medianas. Centro de gravedad, cada una de las medianas divide al triángulo en otros dos que tienen igual área. Está a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado.
Alturas. Perpendiculares desde un vértice al lado opuesto.
Ortocentro. Punto de ꓵ de las alturas.
El punto de corte de la altura con el lado se conoce como pie de la altura.
Uniendo los pies de las alturas se obtiene el triángulo órtico.
Una de las propiedades de este triángulo es que sus lados son el camino más corto para ir desde un lado del triángulo original a los otros dos.
Teoremas.
Teorema de Pitágoras.
Pitágoras de Samos desarrolló la TRIGONOMETRÍA, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre la medida de los ángulos y los lados de los triángulos.
Este teorema establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
Teorema de Euclides.
Demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo al trazar una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y, a su vez, son semejantes al triangulo original; entonces, existe una relación de proporcionalidad.
Este teorema explica las relaciones geométricas existentes en el triángulo rectángulo, donde los catetos están relacionados con sus proyecciones en la hipotenusa.
Teorema de la altura. Media proporcional.
En este teorema se establece que, en cualquier triangulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto con respecto a la hipotenusa es la media proporcional geométrica (el cuadrado de la altura) entre las proyecciones de los catetos que determina sobre la hipotenusa. Es decir, el cuadrado de la altura será igual a la multiplicación de los catetos proyectados que forman la hipotenusa.
Teorema de los catetos. Media proporcional.
En este teorema se establece que, en todo triángulo rectángulo, la medida de cada cateto será la media proporcional geométrica (el cuadrado de cada cateto) entre la medida de la hipotenusa (completa) y la proyección de cada uno sobre este.
Recta de Euler.
Leonhard Euler en 1765, demostró que los tres puntos notables, el
ortocentro, el
baricentro y el
circuncentro de un triángulo, siempre están alineados.
Curiosidades a tener en cuenta.
Triangulación. Cualquier polígono se puede subdividir en triángulos, por ejemplo, trazando sus diagonales. Los triángulos son el único tipo de polígonos que no tienen diagonales. Inténtalo ;)
Propuestas.
Según leéis y repasáis este tema, id dibujando cada triángulo, relacionando y aplicando soluciones de otros temas vistos y nombrando puntos y rectas adecuadamente. No dejéis de comprobar la Recta de Euler.
Espero que os sirva de repaso.
